"donde $ u_{i\\alpha}(\\mathbf{K}) $ es la amplitud de desplazamiento del átomo $i$ en dirección $\\alpha$ y $ \\omega $ es la frecuencia de vibración."
"donde $ u_{i\\alpha}(\\mathbf{K}) $ es la amplitud de desplazamiento del átomo $i$ en dirección $\\alpha$ y $ \\omega $ es la frecuencia de vibración."
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"<!-- A partir de la energía potencial, es posible derivar una expresión explícita para la matriz dinámica de grafeno. En el código, esto se implementa en la función `D(Kx, Ky, Kz, params)`, donde:\n",
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"- **Parámetros del modelo**: Los parámetros de interacción $c_1$, $c_2$, $c_3$ y la masa atómica $m$ están predefinidos en el código, junto con los vectores de red $\\mathbf{a_1}$ y $\\mathbf{a_2}$.\n",
"- **Construcción de la matriz dinámica**: La matriz dinámica se descompone en componentes radiales y tangenciales usando los vectores de red $\\mathbf{a_1}$ y $\\mathbf{a_2}$, y los valores de la función de onda. -->\n",
"<!-- ### Expresión de la Matriz Dinámica\n",
"\n",
"La matriz dinámica $D(\\mathbf{K})$ se puede expresar en función de las constantes de interacción y los vectores de red. Algunos de los elementos de la matriz dinámica en el código se presentan como:\n",
"Los términos fuera de la diagonal reflejan las interacciones tangenciales entre átomos vecinos, mientras que los términos en la diagonal corresponden a las interacciones radiales. -->"
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"### Matriz Dinámica del Grafeno\n",
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"Para poder escribir la energía potencial $\\Delta U$ en términos de los desplazamientos de los átomos, es necesario considerar las direcciones de los enlaces entre átomos vecinos $r_{ij}$."
"Para poder escribir la energía potencial $\\Delta U$ en términos de los desplazamientos de los átomos, es necesario considerar las direcciones de los enlaces entre átomos vecinos $r_{ij}$. Por la simetría del sistema, solo necesitamos 3 direcciones de enlace, pues los átomos $010$ y $001$ tienen la misma dirección que los átomos $000$ y $0\\bar{1}1$, así como los átomos $001$ y $100$ tienen la misma que los átomos $000$ y $\\bar{1}01$. Por lo tanto, las direcciones de los enlaces son:\n",
"Con esto en mente podemos calcular la energía potencial $\\Delta U$, tomando las proyecciones y normas de los desplazamientos de los átomos vecinos. De esta forma, se obtiene una energía potencial:\n",
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"\\begin{equation*}\n",
"\\begin{split}\n",
"\\Delta U =& \\frac{1}{2} (c_r-c_t) \\; [(S_{000x}-S_{001x})^2 + \\frac{1}{4}(S_{000x}+\\sqrt{3}S_{000y}-S_{0\\bar{1}1x}-\\sqrt{3}S_{0\\bar{1}1y})^2 \\\\\n",
En el presente notebook se presenta una implementación de la teoría de fonones mediante matriz dinámica en el grafeno. Se calculan las bandas de dispersión considerando primeros vecinos de una celda primitiva con dos átomos. La base de la teoría aquí presentada se encuentra en el libro de Kaxiras, E. (2019) Quantum Theory of Materials, capítulo 7.
En el presente notebook se presenta una implementación de la teoría de fonones mediante matriz dinámica en el grafeno. Se calculan las bandas de dispersión considerando primeros vecinos de una celda primitiva con dos átomos. La base de la teoría aquí presentada se encuentra en el libro de Kaxiras, E. (2019) Quantum Theory of Materials, capítulo 7.
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## Desarrollo analítico
## Desarrollo analítico
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El grafeno es un material bidimensional compuesto por átomos de carbono organizados en una estructura hexagonal, formando una sola capa atómica. Esta disposición le otorga propiedades únicas, tanto electrónicas como térmicas, que lo convierten en un tema de interés en el estudio de materiales bidimensionales.
El grafeno es un material bidimensional compuesto por átomos de carbono organizados en una estructura hexagonal, formando una sola capa atómica. Esta disposición le otorga propiedades únicas, tanto electrónicas como térmicas, que lo convierten en un tema de interés en el estudio de materiales bidimensionales.
Para caracterizar las vibraciones en la red de grafeno nos planteamos construir su matriz dinámica, que describe los modos de vibración para cada valor del vector de onda $\mathbf{K}$ en el espacio recíproco. En este proyecto, derivaremos la matriz dinámica de grafeno considerando únicamente interacciones de primeros vecinos, siguiendo el enfoque presentado en la Sección 7 del libro Quantum Theory of Materials, E. Kaxiras (2019).
Para caracterizar las vibraciones en la red de grafeno nos planteamos construir su matriz dinámica, que describe los modos de vibración para cada valor del vector de onda $\mathbf{K}$ en el espacio recíproco. En este proyecto, derivaremos la matriz dinámica de grafeno considerando únicamente interacciones de primeros vecinos, siguiendo el enfoque presentado en la Sección 7 del libro Quantum Theory of Materials, E. Kaxiras (2019).
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### Energía Potencial en la Red
### Energía Potencial en la Red
La energía potencial $\Delta U$ del sistema se expresa en términos de la interacción entre átomos de carbono vecinos en la red. Consideramos dos tipos de interacciones en el modelo de primeros vecinos:
La energía potencial $\Delta U$ del sistema se expresa en términos de la interacción entre átomos de carbono vecinos en la red. Consideramos dos tipos de interacciones en el modelo de primeros vecinos:
-**Interacciones radiales**: fuerzas que actúan a lo largo de la dirección del enlace entre átomos vecinos, modificando la longitud de separación entre los átomos.
-**Interacciones radiales**: fuerzas que actúan a lo largo de la dirección del enlace entre átomos vecinos, modificando la longitud de separación entre los átomos.
-**Interacciones tangenciales**: fuerzas que actúan perpendicularmente al enlace, reflejando las deformaciones angulares de la red.
-**Interacciones tangenciales**: fuerzas que actúan perpendicularmente al enlace, reflejando las deformaciones angulares de la red.
Para cada par de átomos de carbono vecinos, la energía potencial de la interacción puede escribirse como:
Para cada par de átomos de carbono vecinos, la energía potencial de la interacción puede escribirse como:
- $ c_r $ y $ c_t $ son las constantes de resorte para las interacciones radial y tangencial, respectivamente,
- $ c_r $ y $ c_t $ son las constantes de resorte para las interacciones radial y tangencial, respectivamente,
- $ \mathbf{S}_i $ es el desplazamiento del átomo $i$ respecto a su posición de equilibrio,
- $ \mathbf{S}_i $ es el desplazamiento del átomo $i$ respecto a su posición de equilibrio,
- $ \hat{r}_{ij} $ es el vector unitario que une los átomos $i$ y $j$.
- $ \hat{r}_{ij} $ es el vector unitario que une los átomos $i$ y $j$.
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### Definición de la Matriz Dinámica
### Definición de la Matriz Dinámica
La matriz dinámica en el espacio recíproco, $D(\mathbf{K})$, se define a partir de las segundas derivadas de la energía potencial con respecto a los desplazamientos de los átomos:
La matriz dinámica en el espacio recíproco, $D(\mathbf{K})$, se define a partir de las segundas derivadas de la energía potencial con respecto a los desplazamientos de los átomos:
- $ i $ y $ j $ indican los diferentes sitios de la celda primitiva,
- $ i $ y $ j $ indican los diferentes sitios de la celda primitiva,
- $ \alpha, \beta $ son las direcciones $x$, $y$, $z$,
- $ \alpha, \beta $ son las direcciones $x$, $y$, $z$,
- $ m_i $ es la masa de los átomos,
- $ m_i $ es la masa de los átomos,
- $ \mathbf{K} $ es el vector de onda en el espacio recíproco,
- $ \mathbf{K} $ es el vector de onda en el espacio recíproco,
- $ \mathbf{R}_n $ es el vector de traslación que identifica la celda $n$.
- $ \mathbf{R}_n $ es el vector de traslación que identifica la celda $n$.
Este enfoque nos permite capturar los efectos de las interacciones entre los primeros vecinos en la estructura vibracional de la red de grafeno resolviendo la ecuación de valores propios:
Este enfoque nos permite capturar los efectos de las interacciones entre los primeros vecinos en la estructura vibracional de la red de grafeno resolviendo la ecuación de valores propios:
donde $ u_{i\alpha}(\mathbf{K}) $ es la amplitud de desplazamiento del átomo $i$ en dirección $\alpha$ y $ \omega $ es la frecuencia de vibración.
donde $ u_{i\alpha}(\mathbf{K}) $ es la amplitud de desplazamiento del átomo $i$ en dirección $\alpha$ y $ \omega $ es la frecuencia de vibración.
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<!-- A partir de la energía potencial, es posible derivar una expresión explícita para la matriz dinámica de grafeno. En el código, esto se implementa en la función `D(Kx, Ky, Kz, params)`, donde:
-**Parámetros del modelo**: Los parámetros de interacción $c_1$, $c_2$, $c_3$ y la masa atómica $m$ están predefinidos en el código, junto con los vectores de red $\mathbf{a_1}$ y $\mathbf{a_2}$.
-**Construcción de la matriz dinámica**: La matriz dinámica se descompone en componentes radiales y tangenciales usando los vectores de red $\mathbf{a_1}$ y $\mathbf{a_2}$, y los valores de la función de onda. -->
<!-- ### Expresión de la Matriz Dinámica
La matriz dinámica $D(\mathbf{K})$ se puede expresar en función de las constantes de interacción y los vectores de red. Algunos de los elementos de la matriz dinámica en el código se presentan como:
Los términos fuera de la diagonal reflejan las interacciones tangenciales entre átomos vecinos, mientras que los términos en la diagonal corresponden a las interacciones radiales. -->
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### Descripción de la Red de Grafeno
### Descripción de la Red de Grafeno
Consideramos una celda primitiva de grafeno con dos átomos de carbono, donde los átomos están dispuestos en una red hexagonal. Los vectores de red son:
Consideramos una celda primitiva de grafeno con dos átomos de carbono, donde los átomos están dispuestos en una red hexagonal. Los vectores de red son:
Nuestra notación será la siguiente: el desplazamiento $S_{mni\alpha}$ corresponde a la componente $\alpha$ del átomo $i$ cuyo vector de traslación es $\mathbf{R}_{mn} = m \mathbf{a}_1 + n \mathbf{a}_2$. La red de grafeno se puede visualizar en el siguiente diagrama, con las etiquetas $mni$ de cada átomo ($\bar{1} = -1$):
Nuestra notación será la siguiente: el desplazamiento $S_{mni\alpha}$ corresponde a la componente $\alpha$ del átomo $i$ cuyo vector de traslación es $\mathbf{R}_{mn} = m \mathbf{a}_1 + n \mathbf{a}_2$. La red de grafeno se puede visualizar en el siguiente diagrama, con las etiquetas $mni$ de cada átomo ($\bar{1} = -1$):
el cual es también una red hexagonal de dos sitios, pero rotado $\pi/2$, de modo que los puntos de alta simetría en la zona de Brillouin son:
el cual es también una red hexagonal de dos sitios, pero rotado $\pi/2$, de modo que los puntos de alta simetría en la zona de Brillouin son:
$$
$$
\Gamma = \vec{0}, \quad M = \frac{\mathbf{b}_1+\mathbf{b}_2}{2}, \quad K = \frac{|\mathbf{b}_1+\mathbf{b}_2|}{2} (\hat{x} + \frac{1}{\sqrt{3}} \hat{y}).
\Gamma = \vec{0}, \quad M = \frac{\mathbf{b}_1+\mathbf{b}_2}{2}, \quad K = \frac{|\mathbf{b}_1+\mathbf{b}_2|}{2} (\hat{x} + \frac{1}{\sqrt{3}} \hat{y}).
$$
$$
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### Matriz Dinámica del Grafeno
### Matriz Dinámica del Grafeno
Para poder escribir la energía potencial $\Delta U$ en términos de los desplazamientos de los átomos, es necesario considerar las direcciones de los enlaces entre átomos vecinos $r_{ij}$.
Para poder escribir la energía potencial $\Delta U$ en términos de los desplazamientos de los átomos, es necesario considerar las direcciones de los enlaces entre átomos vecinos $r_{ij}$. Por la simetría del sistema, solo necesitamos 3 direcciones de enlace, pues los átomos $010$ y $001$ tienen la misma dirección que los átomos $000$ y $0\bar{1}1$, así como los átomos $001$ y $100$ tienen la misma que los átomos $000$ y $\bar{1}01$. Por lo tanto, las direcciones de los enlaces son:
Con esto en mente podemos calcular la energía potencial $\Delta U$, tomando las proyecciones y normas de los desplazamientos de los átomos vecinos. De esta forma, se obtiene una energía potencial:
\begin{equation*}
\begin{split}
\Delta U =& \frac{1}{2} (c_r-c_t) \; [(S_{000x}-S_{001x})^2 + \frac{1}{4}(S_{000x}+\sqrt{3}S_{000y}-S_{0\bar{1}1x}-\sqrt{3}S_{0\bar{1}1y})^2 \\