diff --git a/SolidState/GraphenePhonons.ipynb b/SolidState/GraphenePhonons.ipynb index 0b690e1312f4125ce3e4324786885b85b0e571ae..20b2d110cd1b3bf95635d2bafcbc52f104c22325 100644 --- a/SolidState/GraphenePhonons.ipynb +++ b/SolidState/GraphenePhonons.ipynb @@ -74,29 +74,6 @@ "donde $ u_{i\\alpha}(\\mathbf{K}) $ es la amplitud de desplazamiento del átomo $i$ en dirección $\\alpha$ y $ \\omega $ es la frecuencia de vibración." ] }, - { - "cell_type": "markdown", - "metadata": {}, - "source": [ - "<!-- A partir de la energÃa potencial, es posible derivar una expresión explÃcita para la matriz dinámica de grafeno. En el código, esto se implementa en la función `D(Kx, Ky, Kz, params)`, donde:\n", - "\n", - "- **Parámetros del modelo**: Los parámetros de interacción $c_1$, $c_2$, $c_3$ y la masa atómica $m$ están predefinidos en el código, junto con los vectores de red $\\mathbf{a_1}$ y $\\mathbf{a_2}$.\n", - "- **Construcción de la matriz dinámica**: La matriz dinámica se descompone en componentes radiales y tangenciales usando los vectores de red $\\mathbf{a_1}$ y $\\mathbf{a_2}$, y los valores de la función de onda. -->\n", - "<!-- ### Expresión de la Matriz Dinámica\n", - "\n", - "La matriz dinámica $D(\\mathbf{K})$ se puede expresar en función de las constantes de interacción y los vectores de red. Algunos de los elementos de la matriz dinámica en el código se presentan como:\n", - "\n", - "$$\n", - "D_{xx}(\\mathbf{K}) = \\frac{3(c_1 + c_2)}{2m} - \\frac{c_1}{m} \\left( 1 + e^{-i \\mathbf{K} \\cdot \\mathbf{a}_1} + e^{-i \\mathbf{K} \\cdot \\mathbf{a}_2} \\right)\n", - "$$\n", - "\n", - "$$\n", - "D_{xy}(\\mathbf{K}) = \\frac{\\sqrt{3}}{4m} (c_1 - c_2) \\left( e^{-i \\mathbf{K} \\cdot \\mathbf{a}_1} - e^{-i \\mathbf{K} \\cdot \\mathbf{a}_2} \\right)\n", - "$$\n", - "\n", - "Los términos fuera de la diagonal reflejan las interacciones tangenciales entre átomos vecinos, mientras que los términos en la diagonal corresponden a las interacciones radiales. -->" - ] - }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, @@ -142,7 +119,26 @@ "source": [ "### Matriz Dinámica del Grafeno\n", "\n", - "Para poder escribir la energÃa potencial $\\Delta U$ en términos de los desplazamientos de los átomos, es necesario considerar las direcciones de los enlaces entre átomos vecinos $r_{ij}$." + "Para poder escribir la energÃa potencial $\\Delta U$ en términos de los desplazamientos de los átomos, es necesario considerar las direcciones de los enlaces entre átomos vecinos $r_{ij}$. Por la simetrÃa del sistema, solo necesitamos 3 direcciones de enlace, pues los átomos $010$ y $001$ tienen la misma dirección que los átomos $000$ y $0\\bar{1}1$, asà como los átomos $001$ y $100$ tienen la misma que los átomos $000$ y $\\bar{1}01$. Por lo tanto, las direcciones de los enlaces son:\n", + "\n", + "$$\n", + "\\hat{r}_{001,010} = \\frac{1}{2} (\\hat{x} + \\sqrt{3} \\hat{y}), \\quad \\hat{r}_{001,100} = \\frac{1}{2} (\\hat{x} - \\sqrt{3} \\hat{y}), \\quad \\hat{r}_{000,001} = \\hat{x}.\n", + "$$\n", + "\n", + "Con esto en mente podemos calcular la energÃa potencial $\\Delta U$, tomando las proyecciones y normas de los desplazamientos de los átomos vecinos. De esta forma, se obtiene una energÃa potencial:\n", + "\n", + "\\begin{equation*}\n", + "\\begin{split}\n", + "\\Delta U =& \\frac{1}{2} (c_r-c_t) \\; [(S_{000x}-S_{001x})^2 + \\frac{1}{4}(S_{000x}+\\sqrt{3}S_{000y}-S_{0\\bar{1}1x}-\\sqrt{3}S_{0\\bar{1}1y})^2 \\\\\n", + "+& \\frac{1}{4}(S_{000x}- \\sqrt{3}S_{000y}-S_{\\bar{1}01x}+\\sqrt{3}S_{\\bar{1}01y})^2 + \\frac{1}{4}(S_{001x}+\\sqrt{3}S_{001y}-S_{010x}-\\sqrt{3}S_{010y})^2\\\\\n", + "+& \\frac{1}{4}(S_{001x}-\\sqrt{3}S_{001y}-S_{100x}+\\sqrt{3}S_{100y})^2]\\\\\n", + "+& \\frac{1}{2} c_t \\; [(S_{000x}-S_{001x})^2 + (S_{000y}-S_{001y})^2 + (S_{000z}-S_{001z})^2 \\\\\n", + "+& (S_{000x}-S_{\\bar{1}01x})^2 + (S_{000y}-S_{\\bar{1}01y})^2 + (S_{000z}-S_{\\bar{1}01z})^2 \\\\\n", + "+& (S_{000x}-S_{0\\bar{1}1x})^2 + (S_{000y}-S_{0\\bar{1}1y})^2 + (S_{000z}-S_{0\\bar{1}1z})^2 \\\\\n", + "+& (S_{001x}-S_{010x})^2 + (S_{001y}-S_{010y})^2 + (S_{001z}-S_{010z})^2 \\\\\n", + "+& (S_{001x}-S_{100x})^2 + (S_{001y}-S_{100y})^2 + (S_{001z}-S_{100z})^2].\n", + "\\end{split}\n", + "\\end{equation*}" ] }, {