Tatiana Acero Cuellar

Universidad Nacional de Colombia

Ejercicios Semana 5

Contexto: Resolución espacial

En observaciones astronómicas e imágenes en general, llamamos resolución espacial a la distancia angular minima a la que pueden estar dos fuentes puntuales de luz y aun poder ser reconocidas como objetos individuales.

En el caso de la astronomía, este efecto tiene que ver con la dispersión de la luz al atravezar la atmósfera, la cual hace que una estrella, que debería en principio aparecer como una fuente puntual (pues las estrellas están muy lejos), aparezca en cambio como una mancha. Así, si dos estrellas están demasiado cerca sus manchas se superpondrán hasta el punto en que sea imposible distinguirlas como fuentes individuales (Ver imágenes en este link)

Para modelar este efecto, típicamente consideramos la acción de la atmósferacomo la convolución de la imagen "perfecta" (como se vería desde el espacio) con un kernel gaussiano. El ancho de esa función gaussiana 2D caracteriza las condiciones de observación, varía con las condiciones climáticas y para cada sitio de la Tierra.

La resolución espacial normalmente se toma como el FWHM de la gaussiana caracteristica registrada durante una observación. Es decir, si dos estrellas están a una distancia aparente en el cielo menor que el FWHM del efecto atmosférico, la luz de ambas fuentes se mezclará después de la convolución hasta el punto de impedir reconocerlas de modo individual.

Además, la atmósfera puede interactuar de maneras distintas con la luz de distintas longitudes de onda, de manera que el ancho de la gaussiana puede ser distinto para observaciones con diferentes filtros.

El objetivo de esta tarea es medir de forma aproximada la resolución espacial en una noche de observación en Zapatoca, Santander (Colombia), a partir de una foto del cielo estrellado.

Ejercicio: Pasos

* Leer la imagen almacenada en la carpeta data como un array de numpy. Ese array estará compuesto de 3 matrices, una tras otra, correspondiente a los canales R,G,B * Combinar los 3 array para generar una versión blanco y negro de la imagen, en la cual ella consiste de una sola matriz 2D. Puede usar su intuición y prueba y error para combinar las 3 imágenes, explicando el procedimiento elegido. Esto será más interesante que usar un comando desconocido de una biblioteca sofisticada que haga las cosas como una caja negra (queremos practicar numpy) * Recorte un sector de la imagen conteniendo una estrella individual y ajuste una gaussiana 2D simétrica a la imagen de la estrella por mínimos cuadrados, incluyendo una constante aditiva (el cielo "vacio" brilla) * Repita este procedimiento para varias estrellas y presente alguna estadística sobre las medidas de la FWHM de las distintas gaussianas: histograma, media, mediana, desviación estándar * Repita el mismo ejercicio sobre cada una de las bandas R,G,B separadamente y comente si observa diferencias en los resultados

Importar la imagen almacenada como array de numpy.

La imagen se lee con imageio y se convierte en array con np.asarray

Combinar los canales

Para combinar los canales, vamos a promediar los tres canales para así "crear" la imagen en escala de grises.

Las estrellas que voy a estar analizando las enmarco en la imagen a blanco y negro. En total seleccione 10 estrellas

Ajuste de gaussiana a imagen blanco y negro

Función gaussiana generalizada en dos dimensiones

$f(x,y) = A \exp\left(- \left(a(x - x_o)^2 + 2b(x-x_o)(y-y_o) + c(y-y_o)^2 \right)\right)$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{Y}^{2}}}\\[4pt]b&=-{\frac {\sin 2\theta }{4\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\sin 2\theta }{4\sigma _{Y}^{2}}}\\[4pt]c&={\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{Y}^{2}}}\end{aligned}}}$

Formúla para determinar el Full width at half maximum

${\mathrm {FWHM}}=2{\sqrt {2\ln 2}}\;\sigma$

Para cada uno de los casos mostrados, los parámetros iniciales p0 son elegidos convenientemente para que la gaussiana determinada por el método sea la mejor posible.

Estrella 1

Mirar como es para una sola dimesión

Continuación en dos dimensiones para las demas estrellas

Estrella 2

Estrella 3

Estrella 4

Estrella 5

Estrella 6

Estrella 7

Estrella 8

Estrella 9

Estrella 10

Los valores para el Full Width at Half Maximum (FHWM)

Considere el valor en dirección x & en dirección y. Saque la desviación estándar, el promedio, la mediana y el histograma

Ajuste de gaussiana para imagen: canal rojo

Para extraer el canal rojo, usamos todas las filas, todas las columnas, pero solo el primero de los tres canales
$img[:,:,0]$

Estrella 1

Estrella 2

Estrella 3

Estrella 4

Estrella 5

Estrella 6

Estrella 7

Estrella 8

Estrella 9

Estrella 10

Los valores para el Full Width at Half Maximum (FHWM)

Considere el valor en dirección x & en dirección y. Saque la desviación estándar, el promedio, la mediana y el histograma

Ajuste de gaussiana para imagen: canal verde

Para extraer el canal verde, usamos todas las filas, todas las columnas, pero solo el segundo de los tres canales
$img[:,:,1]$

Estrella 1

Estrella 2

Estrella 3

Estrella 4

Estrella 5

Estrella 6

Estrella 7

Estrella 8

Estrella 9

Estrella 10

Los valores para el Full Width at Half Maximum (FHWM)

Considere el valor en dirección x & en dirección y. Saque la desviación estándar, el promedio, la mediana y el histograma

Ajuste de gaussiana para imagen: canal azul

Para extraer el canal azul, usamos todas las filas, todas las columnas, pero solo el último de los tres canales
$img[:,:,2]$

Estrella 1

Estrella 2

Estrella 3

Estrella 4

Estrella 5

Estrella 6

Estrella 7

Estrella 8

Estrella 9

Estrella 10

Los valores para el Full Width at Half Maximum (FHWM)

Considere el valor en dirección x & en dirección y. Saque la desviación estándar, el promedio, la mediana y el histograma

Comparemos los cuatro valores

En dirección x

En dirección y

Algunas conclusiones sencillitas

El valor el FWHM es mas o menos el mismo para todas las estrellas, entre 2 y 3, en algunos casos es mayor y en otros menor.

Para la escala de grises y para los canales, debí cambiar el punto inicial p0 para que la gaussiana fuera mas apropiada, e.g. para la Estrella n, debí usar cuatro valores de p0, uno para cada canal y para la gris. También elegí los valores de p0 de tal manera que los valores de sigma_x y sigma_y fueran siempre positivos.

El valor para el FWHM si cambia dependiendo del canal del que se parta para hacer el ajuste. Mirando los valores de la desviación estándar, el promedio y la mediana se ve que hay diferencias, sin embargo, los valores podrian considerarse como iguales para los cuatro casos. Igual teniendo en cuenta que el valor inicial p0 para cada estrella debio ser modificado para cada canal.

Ahora, incluyendo las incertidumbres

Escala de grises

Estrella 1

Estrella 2

Estrella 3

Estrella 4

Estrella 5

Estrella 6

Estrella 7

Estrella 8

Estrella 9

Estrella 10

Los valores para el Full Width at Half Maximum (FHWM)

Considere el valor en dirección x & en dirección y. Saque la desviación estándar, el promedio, la mediana y el histograma

Canal rojo

Estrella 1

Estrella 2

Estrella 3

Estrella 4

Estrella 5

Estrella 6

Estrella 7

Estrella 8

Estrella 9

Estrella 10

Los valores para el Full Width at Half Maximum (FHWM)

Considere el valor en dirección x & en dirección y. Saque la desviación estándar, el promedio, la mediana y el histograma

Canal verde

Estrella 1

Estrella 2

Estrella 3

Estrella 4

Estrella 5

Estrella 6

Estrella 7

Estrella 8

Estrella 9

Estrella 10

Los valores para el Full Width at Half Maximum (FHWM)

Considere el valor en dirección x & en dirección y. Saque la desviación estándar, el promedio, la mediana y el histograma

Canal azul

Estrella 1

Estrella 2

Estrella 3

Estrella 4

Estrella 5

Estrella 6

Estrella 7

Estrella 8

Estrella 9

Estrella 10

Los valores para el Full Width at Half Maximum (FHWM)

Considere el valor en dirección x & en dirección y. Saque la desviación estándar, el promedio, la mediana y el histograma

Comparemos los cuatro valores

En dirección x

En dirección y

Comparando los valores con y sin incertidumbre

Para x

Para y

Al incluir la incertidumbre los valores de FWHM si cambian. No se puede afirmar que el valor sea mas o menos preciso, sin embargo al darle un peso a cada pixel que conforma la imagen de la estrella, es mas facil manejar imagenes con mayor ruido como la Estrella 3 y 7.

El módelo es extremadamente sensible a cualquier cambio como el cambio de los parametros iniciales p0, cambio en los pixeles alrededor de la estrella.